Kapitel 22 Tidsrækker og ARIMA Premium

Sentry Page Protection

Gennemgangen af tidsrækkeanalyse bygger meget på praktisk anvendelighed (dvs. vi vil gerne kunne forudsige kursudviklingen), vi vil springe let hen over teorien der kan være tung og er meget omfattende. Nedenstående links giver dog en indføring i den teoretiske del, som vi her ikke berører.

http://ucanalytics.com/blogs/arima-models-manufacturing-case-study-example-part-3/

http://ucanalytics.com/blogs/step-by-step-graphic-guide-to-forecasting-through-arima-modeling-in-r-manufacturing-case-study-example/

Her er en gennemgang af forskellige typer af tidsrækker man kan opleve.

https://people.duke.edu/~rnau/411arim.htm#arima010

Video om ARIMA https://youtu.be/Aw77aMLj9uM

En tidsrække er observationer, der er observeret over tid, fx. lukkekursen på Novo i 2018, kan vi beskrive som en tidsrække. Hvor vi både registrerer dato og lukkekursen. ARIMA er et avanceret analyseværktøj til at beskrive tidsrækker. Vi vil i de følgende kaptiler, med eksempler beskrive hvordan de enkelte elementer i ARIMA rent praktisk fungerer.

AR står for AutoRegressive I står for Integrated MA står for Moving Average

Lad i de følgende afsnit se på nogle simple eksempler for trinvis, at kunne beskrive hvorledes modellen fungerer.

22.1 ARIMA(0,0,0) Premium


Nedenfor har vi aktiekurser for 50 dage for en fiktiv aktie, vi vil nu undersøge om disse kan bruges til at forudsige noget om fremtidige aktiekurser. For at gøre dette, skal man enten importere Excelfilen, eller copy paste data fra rammen nedenfor.

Hent ARIMA1.xlsx Excel filen her. Importer ARIMA1.xlsx til R via menuen File - Import Dataset - Excel. Nu skal datasættet rettes til en tidsserie med ts() kommandoen.

Vi kan nu plotte vore data i R.

Det er svært at se nogen tydelig udvikling i kursen.

Vi benytter auto.arima til at undersøge om der er en systematik i tidsserien, for at bruge denne funktion skal vi hente og loade pakken forecast med fx. pacman:

Funktionen auto.arima i R er en fantastisk funktion, der automatisk finder den ARIMA model, der passer bedst på observationerne.

## Series: ARIMA1 
## ARIMA(0,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          mean
##       19.8964
## s.e.   0.2872
## 
## sigma^2 estimated as 4.209:  log likelihood=-106.37
## AIC=216.74   AICc=217   BIC=220.57

Output ARIMA(0,0,0) with non-zero mean, fortæller os at data er ligesom hvid støj. Den bedste forudsigelse af aktieprisen, vi kan komme med er gennemsnittet af alle kurserne. Vi kan altså ikke forudsige prisen vha. vore fine værktøjer.

Akaike Information Criterion (AIC) , og Bayesian Information Criterion (BIC) benyttes til at vælge ARIMA modellen med mindst AIC og BIC værdier. auto.arima finder den bedste model automatisk.

Her er ligningen for aktiekursen, den bedste forudsigelse af den fremtidige kurs er den gennemsnitlige kurs der tidligere er observeret.

\[\hat{Y_t}=19.90\]

Variablen \(\hat{Y}_t\), kaldet Y hat t angiver vort estimat (gæt) på aktiekursen på tidspunkt \(t=1,2,3,...\). Der er således så lidt systematik i Data at her er tale om en ARIMA(0,0,0) model. Vi ser også at der står “ARIMA(0,0,0) with non-zero mean” i output fra R.

22.2 ARIMA(1,0,0) eller AR(1) autoregression Premium


En ARIMA(1,0,0) model kan skrives som:

\[\hat{Y_t}=c + \phi Y_{t-1}\]

Vi kan forklare \(\hat{Y_t}\) er værdien for tidsrækken på tidspunkt \(t\), ud fra en konstant \(c\) plus en faktor \(\phi\), der ganges på værdien for tidsrækken på tidspunkt \(t-1\). For at bestemme c skal vi kende tidsrækkens sande middelværdi \(\mu\) og \(\phi\), disse værdier kan R beregne for os. Vi kan så beregne konstanten \(c=(1-\phi)\cdot \mu\). Det betyder så at vi kan estimere fremtidige værdier tidsrækken.

Vi har nu et eksempel hvor den sande middelværdi for tidsrækken er \(\mu=100\) og \(\phi=0.5\) for en ARIMA(1,0,0) model. Så kan vi beregne \(c=(1-\phi)\cdot \mu=(1-0.5)\cdot 100=50\) er middelværdien estimeret ved den gennemsnitlige kurs. Ligningen for modellen kan så skrives som:

\[\hat{Y_t}=c + \phi Y_{t-1} \Leftrightarrow \hat{Y_t}=50 + 0.5 Y_{t-1}\]

\(\phi\) fortæller, hvis kursen dagen før var 80 gennemsnitskursen er 100, vil kursen imorgen \(t=1\) ifølge modellen være forudsagt som: \[50+0.5\cdot 80=90\] Dagen efter \(t=2\) vil kursen så være forudsagt til: \[50+0.5\cdot 90=95\] Om 3 dage dvs. \(t=3\) vil kursen så være forudsagt til: \[50+0.5\cdot 95=97.5\] Om 4 dage dvs. \(t=4\) vil kursen så være forudsagt til: \[50+0.5\cdot 97.5=98.75\]

Osv..

Vi siger at forudsagte værdier konvergerer mod (dvs. nærmer sig) \(\mu=100\).

AR i ARIMA, står for autoregression, selv-regression mod middelværdien, i eksemplet så vi hvordan værdien nærmer sig 100, hvis vi forudsiger flere dages kurser kan vi se dette.

\(\phi\) må kun antage værdier mellem og ikke lig med -1 og 1, hvilket betyder den er stationær, altså nærmer sig den sande middelværdi \(\mu\).

Hvad vil der ske hvis \(\mu=100\) og \(\phi=-0.5\) for en ARIMA(1,0,0) model (husk \(c=(1-\phi)\cdot\mu\) når man skal bestemme modellen)?

Hent ARIMA2.xlsx Excel filen her. Importer ARIMA2.xlsx til R via menuen File - Import Dataset - Excel. Nu skal datasættet rettes til en tidsserie med ts() kommandoen.

## Series: ARIMA2 
## ARIMA(1,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          ar1      mean
##       0.3664  103.2372
## s.e.  0.1301    2.4492
## 
## sigma^2 estimated as 128.3:  log likelihood=-191.36
## AIC=388.73   AICc=389.25   BIC=394.46

Her afslører auto.arima 1. ordens autoregression dvs.

Modellen kan skrives som.

\[\hat{Y_t}=c + \phi Y_{t-1}\Leftrightarrow \hat{Y_t}=(1-0.3664)\cdot 103.2372 + 0.3664Y_{t-1}\Leftrightarrow \hat{Y_t}=65.4125 + 0.3664Y_{t-1}\]

Vi ser nu igen på vores eksempel med ARIMA2, vi kan nu i R forudsige aktiekursen 12 perioder frem med predict:

## Time Series:
## Start = 51 
## End = 62 
## Frequency = 1 
##  [1] 105.3673 104.0177 103.5232 103.3420 103.2756 103.2513 103.2424
##  [8] 103.2391 103.2379 103.2375 103.2373 103.2373
Spørgsmål ARIMA(1,0,0) Hent ARIMA22.xlsx Excel filen her. Importer ARIMA22.xlsx til R via menuen File - Import Dataset - Excel. Bestem for den fremtidige aktiekurs 15 perioder frem, udregn direkte fx. vha. Excel og tjek dit resultat i R.

Svar ARIMA(1,0,0)

## Series: ARIMA22 
## ARIMA(1,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          ar1      mean
##       0.2286  215.4871
## s.e.  0.1371    2.3978
## 
## sigma^2 estimated as 180.3:  log likelihood=-199.82
## AIC=405.63   AICc=406.15   BIC=411.37
## Time Series:
## Start = 51 
## End = 65 
## Frequency = 1 
##  [1] 216.7592 215.7779 215.5536 215.5023 215.4905 215.4878 215.4872
##  [8] 215.4871 215.4871 215.4871 215.4871 215.4871 215.4871 215.4871
## [15] 215.4871

Spørgsmål ARIMA(1,0,0) Hent ARIMA23.xlsx Excel filen her. Importer ARIMA23.xlsx til R via menuen File - Import Dataset - Excel. Bestem for den fremtidige aktiekurs 15 perioder frem, udregn direkte fx. vha. Excel og tjek dit resultat i R.


22.3 ARIMA(0,1,0) eller I(1) Integrated Premium


Hvis en serie er ikke-stationær, er den simpleste model en random walk uden drift.

\[\hat{Y_t}-Y_{t-1}=0\Leftrightarrow \hat{Y_t}=Y_{t-1}+0\] Dette betyder vi bedst kan forudsige Y ved værdien perioden før.

Hvis en serie er ikke-stationær, er en random walk med drift.

\[\hat{Y_t}-Y_{t-1}=\mu\Leftrightarrow \hat{Y_t}=Y_{t-1}+\mu\] Dette betyder at Y stiger konstant med \(\mu\) i hver periode. Drift betyder at tidsrækken stiger konstant.

Forestiller man sig en ARIMA(0,1,0) med drift 10 og en kurs på tidspunkt t-1 på 120, vil vi forudsige en kurs på 130 ved tid t og 140 ved tid t+1 osv. Vi kan opskrive modellen som: \[\hat{Y_t}-Y_{t-1}=10\Leftrightarrow \hat{Y_t}=Y_{t-1}+10\]

Hent ARIMA3.xlsx Excel filen her. Importer ARIMA3.xlsx til R via menuen File - Import Dataset - Excel. Nu skal datasættet rettes til en tidsserie med ts() kommandoen.

## Series: ARIMA3 
## ARIMA(0,1,0) with drift 
## 
## Coefficients:
##        drift
##       7.9149
## s.e.  1.2790
## 
## sigma^2 estimated as 83.46:  log likelihood=-181.05
## AIC=366.1   AICc=366.36   BIC=369.93

Modellen ovenfor kan skrives som: \[\hat{Y_t}-Y_{t-1}=\mu\Leftrightarrow \hat{Y_t}-Y_{t-1}=7.9\Leftrightarrow \hat{Y_t}=Y_{t-1}+7.9\] Vi indsætter drift i stedet for \(\mu\), tolningen er at modellen forudsiger at aktiekursen stiger med 7.9 fra periode til periode.

Hvis vi har en ren random walk model uden drift dvs. med \(\mu=0\) ARIMA(0,1,0) for en aktiekurs , forventer vi at kursen til tid t vil være den samme som til tid t-1. Denne kan skrives som:

\[\hat{Y_t}-Y_{t-1}=0\]

22.4 ARIMA(0,0,1) eller MA(1) Moving average Premium


Vi kan i stedet for at bruge tidligere aktiekurser til at forudsige aktiekursen i stedet benytte tidligere målefejl residualer til at forudsige kursen.

Modellen kan skrives som:

\[\hat{Y_t}=\mu+\theta_1 e_{t-1}\] Hvis vi forestiller os \(\mu=50\) \(\theta_1=0.5\) kursen til tid t-1 var 120 forudsigelsen til tid t-1 var 100, så målefejlen residualen til tid t-1 er \(e_{t-1}\) er faktisk kurs minus forudsagt kurs altså 120-100=20. Nu kan vi forudsige kursen til tid t som: \[\hat{Y_t}=\mu+\theta_1 e_{t-1}\Leftrightarrow \hat{Y_t}=50+0.5\cdot20=60\]

Hent ARIMA4.xlsx Excel filen her. Importer ARIMA4.xlsx til R via menuen File - Import Dataset - Excel. Nu skal datasættet rettes til en tidsserie med ts() kommandoen.

## Series: ARIMA4 
## ARIMA(0,0,1) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          ma1     mean
##       0.9053  99.0176
## s.e.  0.0664   2.5588
## 
## sigma^2 estimated as 95.68:  log likelihood=-184.81
## AIC=375.62   AICc=376.14   BIC=381.35

Vi kan nu forudsige aktiekursen 12 perioder frem med predict:

## Time Series:
## Start = 51 
## End = 62 
## Frequency = 1 
##  [1] 113.64960  99.01756  99.01756  99.01756  99.01756  99.01756  99.01756
##  [8]  99.01756  99.01756  99.01756  99.01756  99.01756

Hvorfor svarer den forudsagte værdi til mean i en ren ARIMA(0,0,1) eller MA(1) model? (Vink hvad er definitionen på en residual)

22.5 Plots med forskellige modeller Premium

## Series: ap1 
## ARIMA(0,1,2) 
## 
## Coefficients:
##           ma1      ma2
##       -0.3137  -0.2726
## s.e.   0.1358   0.1291
## 
## sigma^2 estimated as 97.32:  log likelihood=-184.56
## AIC=375.11   AICc=375.64   BIC=380.85

Kursen svinger omkring middelværdien.

## Series: ap2 
## ARIMA(1,1,0) 
## 
## Coefficients:
##          ar1
##       0.6538
## s.e.  0.1105
## 
## sigma^2 estimated as 79.6:  log likelihood=-180.15
## AIC=364.29   AICc=364.55   BIC=368.12

## Series: ap3 
## ARIMA(2,0,1) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ar1      ar2     ma1      mean
##       -0.3997  -0.0636  0.8459  101.1705
## s.e.   0.0874   0.0794  0.0543    0.9409
## 
## sigma^2 estimated as 113.6:  log likelihood=-755.44
## AIC=1520.88   AICc=1521.19   BIC=1537.37

Vi kan også grafisk vise hvordan kursen vil udvikle sig med 80% og 95% konfidensbælter.

##     Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
## 201       96.32938 82.66730 109.9915 75.43503 117.2237
## 202      102.99674 88.03657 117.9569 80.11714 125.8763
## 203      100.74835 85.42746 116.0692 77.31707 124.1796
## 204      101.22317 85.87387 116.5725 77.74843 124.6979
## 205      101.17633 85.82615 116.5265 77.70026 124.6524
## 206      101.16487 85.81469 116.5150 77.68880 124.6409
## 207      101.17243 85.82225 116.5226 77.69636 124.6485
## 208      101.17013 85.81995 116.5203 77.69406 124.6462
## 209      101.17057 85.82039 116.5207 77.69450 124.6466
## 210      101.17054 85.82036 116.5207 77.69447 124.6466

22.6 ARIMA af højere orden Premium

Arima modeller kan afhænge af flere tidligere perioder, fx kan ligningen for ARIMA(2,0,0) eller AR(2), opskrives som:

\[\hat{Y_t}=c + \phi Y_{t-1}+ \phi_2 Y_{t-2}\] Modellen afhænger altså af 2 tidligere perioder (lags) og ikke en. Man betegner dette som en model med lag 2.

Arima modeller kan indeholde flere forskellige elementer med lag som fx. ARIMA(0,2,1).

22.7 ARIMA og sæsonalitet Premium


Hvis fx. en aktie handles lavere om fredagen kan ARIMA modellerne korrigere for dette ved sæsonkorrektion. I sæsonkorrigerede modeller vises dette som en ekstra vektor med 3 tal for hhv. sæsonkorrigeret AR eller SAR, sæsonkorrigeret I eller SI og sæsonkorrigeret MA eller SMA. En model som ARIMA(1,0,0)(1,0,0) har altså udover AR også en sæsonkomponent.

22.8 ARIMA eksempler Premium

22.8.1 Traktorer Premium

Hent følgende data for traktor salg, med følgende kommandoer i R.

Vi ser salget er voksende over tid, der er ligeledes en sæsonkomponent.

Differens tranformer data for at generere stationære data mht. middel (fjern trend)

log transformer data for at sikre stationaritet mht. varians.

Eventuel Differens og log transformation af data for at sikre stationaritet både mht. middel og varians.

Find bedste model med auto.arima, når der er stationaritet.

Akaike Information Criterion (AIC) , og Bayesian Information Criterion (BIC), vælg ARIMA modellen med mindst AIC and BIC værdier. auto.arima finder den bedste model automatisk.

## Series: log10(data) 
## ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12] 
## 
## Coefficients:
##           ma1     sma1
##       -0.4047  -0.5529
## s.e.   0.0885   0.0734
## 
## sigma^2 estimated as 0.0002571:  log likelihood=354.4
## AIC=-702.79   AICc=-702.6   BIC=-694.17

Nu kan vi forudsige kommende traktor salg med modellen

##            Jan       Feb       Mar       Apr       May       Jun       Jul
## 2015  567.7645  566.4765  670.8226  758.9138  855.9482  817.2827  938.7239
## 2016  625.2464  623.8280  738.7384  835.7481  942.6065  900.0265 1033.7626
## 2017  688.5479  686.9859  813.5300  920.3613 1038.0383  991.1474 1138.4233
##            Aug       Sep       Oct       Nov       Dec
## 2015  934.5120  703.5005  626.9879  571.9988  668.5363
## 2016 1029.1243  774.7246  690.4657  629.9094  736.2206
## 2017 1133.3154  853.1596  760.3701  693.6830  810.7573

22.8.2 Detail debet card forbrug på Island (millioner ISK). Premium

## Series: log10(debitcards) 
## ARIMA(2,1,0)(0,1,1)[12] 
## 
## Coefficients:
##           ar1      ar2     sma1
##       -0.7167  -0.4372  -0.8352
## s.e.   0.0761   0.0763   0.1085
## 
## sigma^2 estimated as 0.0004402:  log likelihood=343.95
## AIC=-679.9   AICc=-679.61   BIC=-668.05

Nu kan vi forudsige kommende debetkort omsætning med modellen

Forudsagt brug af debetkort bliver:

##           Jan      Feb      Mar      Apr      May      Jun      Jul
## 2013 19717.77 19162.87 20436.29 20506.84 23262.14 23545.62 24292.86
## 2014 20701.39 20352.57 21886.85 21721.53 24745.18 25091.09 25806.49
## 2015 22017.60 21649.95 23281.85 23104.56 26321.98 26689.74 27450.29
##           Aug      Sep      Oct      Nov      Dec
## 2013 25544.16 22267.47 22543.80 22081.63 29090.93
## 2014 27175.65 23697.15 23970.40 23490.36 30947.83
## 2015 28907.08 25206.87 25497.43 24986.92 32919.46

22.9 Forecast Aktiekurser Premium


Man kan hente online aktiekurser med quantmod pakken installer denne med fx. pacman, vi skal også bruge pakken forecast som vi ligeledes henter. Vi henter nedenfor Google justeret lukkekurs til dato det er 6 søjle i GOOG matricen nedenfor. Vi kan se forecaste aktiekursen vha.

## [1] "GOOG"

## Series: GOOG[, 6] 
## ARIMA(3,1,3) 
## 
## Coefficients:
##           ar1      ar2     ar3     ma1     ma2      ma3
##       -0.1576  -0.1102  0.7636  0.1729  0.0179  -0.8214
## s.e.   0.0908   0.0854  0.0864  0.0777  0.0775   0.0750
## 
## sigma^2 estimated as 256.7:  log likelihood=-2953.23
## AIC=5920.46   AICc=5920.62   BIC=5952.37
##     Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
## 707       1240.585 1220.051 1261.118 1209.182 1271.988
## 708       1241.104 1211.842 1270.366 1196.351 1285.857
## 709       1240.900 1206.062 1275.738 1187.619 1294.180
## 710       1239.183 1199.975 1278.391 1179.219 1299.147
## 711       1239.873 1196.481 1283.264 1173.511 1306.234
## 712       1239.797 1193.154 1286.440 1168.462 1311.132
## 713       1238.422 1188.920 1287.924 1162.715 1314.129
## 714       1239.174 1186.742 1291.606 1158.986 1319.361
## 715       1239.149 1184.300 1293.998 1155.265 1323.033
## 716       1238.020 1180.940 1295.100 1150.724 1325.317

22.9.1 Eksporter Aktiekurser til Excel Premium

Man kan eksportere data til fx Excel med pakken rio, herunder dannes en Excel fil med to ark med hhv. aktiedata og forudsigelser. Funktionen export(), benyttes, man angiver data til de enkelte ark en list() funktion, sidste argument er selve filnavnet. Filen gemmes i arbejdsbiblioteket. Herfra kan den kopieres eller exporteres.

## [1] "GS"

## Series: GS[, 6] 
## ARIMA(0,1,0) 
## 
## sigma^2 estimated as 10.15:  log likelihood=-1817.29
## AIC=3636.59   AICc=3636.59   BIC=3641.15
##     Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
## 707          209.6 205.5169 213.6831 203.3554 215.8446
## 708          209.6 203.8256 215.3744 200.7688 218.4312
## 709          209.6 202.5279 216.6722 198.7841 220.4159
## 710          209.6 201.4338 217.7662 197.1108 222.0892
## 711          209.6 200.4699 218.7301 195.6367 223.5633
## 712          209.6 199.5985 219.6015 194.3040 224.8960
## 713          209.6 198.7971 220.4029 193.0784 226.1216
## 714          209.6 198.0512 221.1488 191.9377 227.2623
## 715          209.6 197.3507 221.8493 190.8663 228.3337
## 716          209.6 196.6881 222.5119 189.8529 229.3471

## [1] "DANSKE.CO"

## Series: DANSKE.CO[, 6] 
## ARIMA(3,1,2) 
## 
## Coefficients:
##          ar1      ar2      ar3      ma1     ma2
##       0.2511  -0.9416  -0.1003  -0.3262  0.9742
## s.e.  0.0445   0.0217   0.0381   0.0249  0.0159
## 
## sigma^2 estimated as 6.075:  log likelihood=-1622.49
## AIC=3256.99   AICc=3257.11   BIC=3284.29
##     Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
## 702       98.66352 95.50484 101.8222 93.83273 103.4943
## 703       98.48927 94.18662 102.7919 91.90893 105.0696
## 704       98.38569 93.16035 103.6110 90.39422 106.3772
## 705       98.51738 92.54982 104.4849 89.39078 107.6440
## 706       98.66546 92.05469 105.2762 88.55517 108.7757
## 707       98.58904 91.36679 105.8113 87.54356 109.6345
## 708       98.41722 90.60871 106.2257 86.47514 110.3593
## 709       98.43116 90.09206 106.7703 85.67760 111.1847
## 710       98.60411 89.79025 107.4180 85.12447 112.0837
## 711       98.65166 89.38285 107.9205 84.47624 112.8271

## [1] "BRK-A"

## Series: `BRK-A`[, 6] 
## ARIMA(1,1,0) with drift 
## 
## Coefficients:
##           ar1    drift
##       -0.0312  52.4996
## s.e.   0.0142  25.6723
## 
## sigma^2 estimated as 3493101:  log likelihood=-44598.31
## AIC=89202.61   AICc=89202.62   BIC=89222.15
##      Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
## 4984       316261.0 313865.8 318656.2 312597.9 319924.1
## 4985       316312.6 312977.7 319647.5 311212.4 321412.8
## 4986       316365.1 312301.1 320429.2 310149.7 322580.5
## 4987       316417.6 311736.7 321098.6 309258.8 323576.5
## 4988       316470.1 311244.6 321695.6 308478.4 324461.9
## 4989       316522.6 310804.2 322241.1 307777.0 325268.3
## 4990       316575.1 310403.0 322747.3 307135.6 326014.6
## 4991       316627.6 310032.9 323222.4 306541.9 326713.4
## 4992       316680.1 309688.3 323671.9 305987.1 327373.2
## 4993       316732.6 309365.1 324100.1 305465.0 328000.2

22.10 Aktieafkast Premium


I Quantmod pakken ligger også mulighed for at beregne fx. dagligt, ugentligt afkast, dette gør vi vha. funktionen “periodReturn”.

## [1] "AAPL"

## Series: apple 
## ARIMA(1,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ar1    mean
##       -0.6150  0.3271
## s.e.   0.2396  0.0760
## 
## sigma^2 estimated as 0.2153:  log likelihood=-7.61
## AIC=21.23   AICc=23.9   BIC=22.92
## [1] "BRK-A"

## Series: berkshire 
## ARIMA(0,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##         mean
##       0.1011
## s.e.  0.0502
## 
## sigma^2 estimated as 0.03546:  log likelihood=3.78
## AIC=-3.56   AICc=-2.36   BIC=-2.43