Kapitel 22 Tidsrækker og ARIMA Premium

Sentry Page Protection

Gennemgangen af tidsrækkeanalyse bygger meget på praktisk anvendelighed (dvs. vi vil gerne kunne forudsige kursudviklingen), vi vil springe let hen over teorien der kan være tung og er meget omfattende. Nedenstående links giver dog en indføring i den teoretiske del, som vi her ikke berører.

http://ucanalytics.com/blogs/arima-models-manufacturing-case-study-example-part-3/

http://ucanalytics.com/blogs/step-by-step-graphic-guide-to-forecasting-through-arima-modeling-in-r-manufacturing-case-study-example/

Her er en gennemgang af forskellige typer af tidsrækker man kan opleve.

https://people.duke.edu/~rnau/411arim.htm#arima010

Video om ARIMA https://youtu.be/Aw77aMLj9uM

En tidsrække er observationer, der er observeret over tid, fx. lukkekursen på Novo i 2018, kan vi beskrive som en tidsrække. Hvor vi både registrerer dato og lukkekursen. ARIMA er et avanceret analyseværktøj til at beskrive tidsrækker. Vi vil i de følgende kaptiler, med eksempler beskrive hvordan de enkelte elementer i ARIMA rent praktisk fungerer.

AR står for AutoRegressive I står for Integrated MA står for Moving Average

Lad i de følgende afsnit se på nogle simple eksempler for trinvis, at kunne beskrive hvorledes modellen fungerer.

22.1 ARIMA(0,0,0) Premium


Nedenfor har vi aktiekurser for 50 dage for en fiktiv aktie, vi vil nu undersøge om disse kan bruges til at forudsige noget om fremtidige aktiekurser. For at gøre dette, skal man enten importere Excelfilen, eller copy paste data fra rammen nedenfor.

Hent ARIMA1.xlsx Excel filen her. Importer ARIMA1.xlsx til R via menuen File - Import Dataset - Excel. Nu skal datasættet rettes til en tidsserie med ts() kommandoen.

Vi kan nu plotte vore data i R.

Det er svært at se nogen tydelig udvikling i kursen.

Vi benytter auto.arima til at undersøge om der er en systematik i tidsserien, for at bruge denne funktion skal vi hente og loade pakken forecast med fx. pacman:

Funktionen auto.arima i R er en fantastisk funktion, der automatisk finder den ARIMA model, der passer bedst på observationerne.

## Series: ARIMA1 
## ARIMA(0,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          mean
##       19.8964
## s.e.   0.2872
## 
## sigma^2 estimated as 4.209:  log likelihood=-106.37
## AIC=216.74   AICc=217   BIC=220.57

Output ARIMA(0,0,0) with non-zero mean, fortæller os at data er ligesom hvid støj. Den bedste forudsigelse af aktieprisen, vi kan komme med er gennemsnittet af alle kurserne. Vi kan altså ikke forudsige prisen vha. vore fine værktøjer.

Akaike Information Criterion (AIC) , og Bayesian Information Criterion (BIC) benyttes til at vælge ARIMA modellen med mindst AIC og BIC værdier. auto.arima finder den bedste model automatisk.

Her er ligningen for aktiekursen, den bedste forudsigelse af den fremtidige kurs er den gennemsnitlige kurs der tidligere er observeret.

\[\hat{Y_t}=19.90\]

Variablen \(\hat{Y}_t\), kaldet Y hat t angiver vort (gæt) på aktiekursen på tidspunkt \(t=1,2,3,...\). Der er således så lidt systematik i Data at her er tale om en ARIMA(0,0,0) model. Vi ser også at der står “ARIMA(0,0,0) with non-zero mean” i output fra R.

22.2 ARIMA(1,0,0) eller AR(1) autoregression Premium


En ARIMA(1,0,0) model kan skrives som:

\[\hat{Y_t}=c + \phi Y_{t-1}\]

Vi kan forklare \(\hat{Y_t}\) er værdien for tidsrækken på tidspunkt \(t\), ud fra en konstant \(c\) plus en faktor \(\phi\), der ganges på værdien for tidsrækken på tidspunkt \(t-1\). For at bestemme c skal vi kende tidsrækkens sande middelværdi \(\mu\) og \(\phi\), disse værdier kan R beregne for os. Vi kan så beregne konstanten \(c=(1-\phi)\cdot \mu\). Det betyder så at vi kan estimere fremtidige værdier tidsrækken.

Vi har nu et eksempel hvor den sande middelværdi for tidsrækken er \(\mu=100\) og \(\phi=0.5\) for en ARIMA(1,0,0) model. Så kan vi beregne \(c=(1-\phi)\cdot \mu=(1-0.5)\cdot 100=50\) er middelværdien estimeret ved den gennemsnitlige kurs. Ligningen for modellen kan så skrives som:

\[\hat{Y_t}=c + \phi Y_{t-1} \Leftrightarrow \hat{Y_t}=50 + 0.5 Y_{t-1}\]

\(\phi\) fortæller, hvis kursen dagen før var 80 gennemsnitskursen er 100, vil kursen imorgen \(t=1\) ifølge modellen være forudsagt som: \[50+0.5\cdot 80=90\] Dagen efter \(t=2\) vil kursen så være forudsagt til: \[50+0.5\cdot 90=95\] Om 3 dage dvs. \(t=3\) vil kursen så være forudsagt til: \[50+0.5\cdot 95=97.5\] Om 4 dage dvs. \(t=4\) vil kursen så være forudsagt til: \[50+0.5\cdot 97.5=98.75\]

Osv..

Vi siger at forudsagte værdier konvergerer mod (dvs. nærmer sig) \(\mu=100\).

AR i ARIMA, står for autoregression, selv-regression mod middelværdien, i eksemplet så vi hvordan værdien nærmer sig 100, hvis vi forudsiger flere dages kurser kan vi se dette.

\(\phi\) må kun antage værdier mellem og ikke lig med -1 og 1, hvilket betyder den er stationær, altså nærmer sig den sande middelværdi \(\mu\).

Hvad vil der ske hvis \(\mu=100\) og \(\phi=-0.5\) for en ARIMA(1,0,0) model (husk \(c=(1-\phi)\cdot\mu\) når man skal bestemme modellen)?

Hent ARIMA2.xlsx Excel filen her. Importer ARIMA2.xlsx til R via menuen File - Import Dataset - Excel. Nu skal datasættet rettes til en tidsserie med ts() kommandoen.

## Series: ARIMA2 
## ARIMA(1,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          ar1      mean
##       0.3664  103.2372
## s.e.  0.1301    2.4492
## 
## sigma^2 estimated as 128.3:  log likelihood=-191.36
## AIC=388.73   AICc=389.25   BIC=394.46

Her afslører auto.arima 1. ordens autoregression dvs.

Modellen kan skrives som.

\[\hat{Y_t}=c + \phi Y_{t-1}\Leftrightarrow \hat{Y_t}=(1-0.3664)\cdot 103.2372 + 0.3664Y_{t-1}\Leftrightarrow \hat{Y_t}=65.4125 + 0.3664Y_{t-1}\]

Vi ser nu igen på vores eksempel med ARIMA2, vi kan nu i R forudsige aktiekursen 12 perioder frem med predict:

## Time Series:
## Start = 51 
## End = 62 
## Frequency = 1 
##  [1] 105.3673 104.0177 103.5232 103.3420 103.2756 103.2513 103.2424 103.2391 103.2379 103.2375 103.2373 103.2373
Spørgsmål ARIMA(1,0,0) Hent ARIMA22.xlsx Excel filen her. Importer ARIMA22.xlsx til R via menuen File - Import Dataset - Excel. Bestem for den fremtidige aktiekurs 15 perioder frem, udregn direkte fx. vha. Excel og tjek dit resultat i R.

Svar ARIMA(1,0,0)

## Series: ARIMA22 
## ARIMA(1,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          ar1      mean
##       0.2286  215.4871
## s.e.  0.1371    2.3978
## 
## sigma^2 estimated as 180.3:  log likelihood=-199.82
## AIC=405.63   AICc=406.15   BIC=411.37
## Time Series:
## Start = 51 
## End = 65 
## Frequency = 1 
##  [1] 216.7592 215.7779 215.5536 215.5023 215.4905 215.4878 215.4872 215.4871 215.4871 215.4871 215.4871 215.4871 215.4871 215.4871 215.4871

Spørgsmål ARIMA(1,0,0) Hent ARIMA23.xlsx Excel filen her. Importer ARIMA23.xlsx til R via menuen File - Import Dataset - Excel. Bestem for den fremtidige aktiekurs 15 perioder frem, udregn direkte fx. vha. Excel og tjek dit resultat i R.


22.3 ARIMA(0,1,0) eller I(1) Integrated Premium


Hvis en serie er ikke-stationær, er den simpleste model en random walk uden drift.

\[\hat{Y_t}-Y_{t-1}=0\Leftrightarrow \hat{Y_t}=Y_{t-1}+0\] Dette betyder vi bedst kan forudsige Y ved værdien perioden før.

Hvis en serie er ikke-stationær, er en random walk med drift.

\[\hat{Y_t}-Y_{t-1}=\mu\Leftrightarrow \hat{Y_t}=Y_{t-1}+\mu\] Dette betyder at Y stiger konstant med \(\mu\) i hver periode. Drift betyder at tidsrækken stiger konstant.

Forestiller man sig en ARIMA(0,1,0) med drift 10 og en kurs på tidspunkt t-1 på 120, vil vi forudsige en kurs på 130 ved tid t og 140 ved tid t+1 osv. Vi kan opskrive modellen som: \[\hat{Y_t}-Y_{t-1}=10\Leftrightarrow \hat{Y_t}=Y_{t-1}+10\]

Hent ARIMA3.xlsx Excel filen her. Importer ARIMA3.xlsx til R via menuen File - Import Dataset - Excel. Nu skal datasættet rettes til en tidsserie med ts() kommandoen.

## Series: ARIMA3 
## ARIMA(0,1,0) with drift 
## 
## Coefficients:
##        drift
##       7.9149
## s.e.  1.2790
## 
## sigma^2 estimated as 83.46:  log likelihood=-181.05
## AIC=366.1   AICc=366.36   BIC=369.93

Modellen ovenfor kan skrives som: \[\hat{Y_t}-Y_{t-1}=\mu\Leftrightarrow \hat{Y_t}-Y_{t-1}=7.9\Leftrightarrow \hat{Y_t}=Y_{t-1}+7.9\] Vi indsætter drift i stedet for \(\mu\), tolningen er at modellen forudsiger at aktiekursen stiger med 7.9 fra periode til periode.

Hvis vi har en ren random walk model uden drift dvs. med \(\mu=0\) ARIMA(0,1,0) for en aktiekurs , forventer vi at kursen til tid t vil være den samme som til tid t-1. Denne kan skrives som:

\[\hat{Y_t}-Y_{t-1}=0\]

22.4 ARIMA(0,0,1) eller MA(1) Moving average Premium


Vi kan i stedet for at bruge tidligere aktiekurser til at forudsige aktiekursen i stedet benytte tidligere målefejl til at forudsige kursen.

Modellen kan skrives som:

\[\hat{Y_t}=\mu+\theta_1 e_{t-1}\] Hvis vi forestiller os \(\mu=50\) \(\theta_1=0.5\) kursen til tid t-1 var 120 forudsigelsen til tid t-1 var 100, så målefejlen til tid t-1 er \(e_{t-1}\) er faktisk kurs minus forudsagt kurs altså 120-100=20. Nu kan vi forudsige kursen til tid t som: \[\hat{Y_t}=\mu+\theta_1 e_{t-1}\Leftrightarrow \hat{Y_t}=50+0.5\cdot20=60\]

Hent ARIMA4.xlsx Excel filen her. Importer ARIMA4.xlsx til R via menuen File - Import Dataset - Excel. Nu skal datasættet rettes til en tidsserie med ts() kommandoen.

## Series: ARIMA4 
## ARIMA(0,0,1) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          ma1     mean
##       0.9053  99.0176
## s.e.  0.0664   2.5588
## 
## sigma^2 estimated as 95.68:  log likelihood=-184.81
## AIC=375.62   AICc=376.14   BIC=381.35

Vi kan nu forudsige aktiekursen 12 perioder frem med predict:

## Time Series:
## Start = 51 
## End = 62 
## Frequency = 1 
##  [1] 113.64960  99.01756  99.01756  99.01756  99.01756  99.01756  99.01756  99.01756  99.01756  99.01756  99.01756  99.01756

Hvorfor svarer den forudsagte værdi til mean i en ren ARIMA(0,0,1) eller MA(1) model? (Vink hvad er definitionen på en )

22.5 Plots med forskellige modeller Premium

## Series: ap1 
## ARIMA(1,0,2) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          ar1      ma1     ma2      mean
##       0.8092  -0.6190  0.3461  114.3229
## s.e.  0.1237   0.1741  0.1618    4.4756
## 
## sigma^2 estimated as 82.21:  log likelihood=-183.18
## AIC=376.35   AICc=377.69   BIC=386.01

Kursen svinger omkring middelværdien.

## Series: ap2 
## ARIMA(1,1,2) 
## 
## Coefficients:
##           ar1     ma1     ma2
##       -0.5428  1.5046  0.9370
## s.e.   0.2419  0.1981  0.1264
## 
## sigma^2 estimated as 85.69:  log likelihood=-182.6
## AIC=373.19   AICc=374.08   BIC=380.84

## Series: ap3 
## ARIMA(0,0,2) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          ma1      ma2     mean
##       0.3507  -0.3037  98.8739
## s.e.  0.0679   0.0685   0.7388
## 
## sigma^2 estimated as 100.9:  log likelihood=-743.88
## AIC=1495.77   AICc=1495.97   BIC=1508.96

Vi kan også grafisk vise hvordan kursen vil udvikle sig med 80% og 95% konfidensbælter.

##     Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
## 201       93.91317 81.04317 106.7832 74.23021 113.5961
## 202      100.84143 87.20313 114.4797 79.98344 121.6994
## 203       98.87388 84.68639 113.0614 77.17598 120.5718
## 204       98.87388 84.68639 113.0614 77.17598 120.5718
## 205       98.87388 84.68639 113.0614 77.17598 120.5718
## 206       98.87388 84.68639 113.0614 77.17598 120.5718
## 207       98.87388 84.68639 113.0614 77.17598 120.5718
## 208       98.87388 84.68639 113.0614 77.17598 120.5718
## 209       98.87388 84.68639 113.0614 77.17598 120.5718
## 210       98.87388 84.68639 113.0614 77.17598 120.5718

22.6 ARIMA af højere orden Premium

Arima modeller kan afhænge af flere tidligere perioder, fx kan ligningen for ARIMA(2,0,0) eller AR(2), opskrives som:

\[\hat{Y_t}=c + \phi Y_{t-1}+ \phi_2 Y_{t-2}\] Modellen afhænger altså af 2 tidligere perioder (lags) og ikke en. Man betegner dette som en model med lag 2.

Arima modeller kan indeholde flere forskellige elementer med lag som fx. ARIMA(0,2,1).

22.7 ARIMA og sæsonalitet Premium


Hvis fx. en aktie handles lavere om fredagen kan ARIMA modellerne korrigere for dette ved sæsonkorrektion. I sæsonkorrigerede modeller vises dette som en ekstra vektor med 3 tal for hhv. sæsonkorrigeret AR eller SAR, sæsonkorrigeret I eller SI og sæsonkorrigeret MA eller SMA. En model som ARIMA(1,0,0)(1,0,0) har altså udover AR også en sæsonkomponent.

22.8 ARIMA eksempler Premium

22.8.1 Traktorer Premium

Hent følgende data for traktor salg, med følgende kommandoer i R.

Vi ser salget er voksende over tid, der er ligeledes en sæsonkomponent.

Differens tranformer data for at generere stationære data mht. middel (fjern trend)

log transformer data for at sikre stationaritet mht. varians.

Eventuel Differens og log transformation af data for at sikre stationaritet både mht. middel og varians.

Find bedste model med auto.arima, når der er stationaritet.

Akaike Information Criterion (AIC) , og Bayesian Information Criterion (BIC), vælg ARIMA modellen med mindst AIC and BIC værdier. auto.arima finder den bedste model automatisk.

## Series: log10(data) 
## ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12] 
## 
## Coefficients:
##           ma1     sma1
##       -0.4047  -0.5529
## s.e.   0.0885   0.0734
## 
## sigma^2 estimated as 0.0002571:  log likelihood=354.4
## AIC=-702.79   AICc=-702.6   BIC=-694.17

Nu kan vi forudsige kommende traktor salg med modellen

##            Jan       Feb       Mar       Apr       May       Jun       Jul       Aug       Sep       Oct       Nov       Dec
## 2015  567.7645  566.4765  670.8226  758.9138  855.9482  817.2827  938.7239  934.5120  703.5005  626.9879  571.9988  668.5363
## 2016  625.2464  623.8280  738.7384  835.7481  942.6065  900.0265 1033.7626 1029.1243  774.7246  690.4657  629.9094  736.2206
## 2017  688.5479  686.9859  813.5300  920.3613 1038.0383  991.1474 1138.4233 1133.3154  853.1596  760.3701  693.6830  810.7573

22.8.2 Detail debet card forbrug på Island (millioner ISK). Premium

## Series: log10(debitcards) 
## ARIMA(2,1,0)(0,1,1)[12] 
## 
## Coefficients:
##           ar1      ar2     sma1
##       -0.7167  -0.4372  -0.8352
## s.e.   0.0761   0.0763   0.1085
## 
## sigma^2 estimated as 0.0004402:  log likelihood=343.95
## AIC=-679.9   AICc=-679.61   BIC=-668.05

Nu kan vi forudsige kommende debetkort omsætning med modellen

Forudsagt brug af debetkort bliver:

##           Jan      Feb      Mar      Apr      May      Jun      Jul      Aug      Sep      Oct      Nov      Dec
## 2013 19717.77 19162.87 20436.29 20506.84 23262.14 23545.62 24292.86 25544.16 22267.47 22543.80 22081.63 29090.93
## 2014 20701.39 20352.57 21886.85 21721.53 24745.18 25091.09 25806.49 27175.65 23697.15 23970.40 23490.36 30947.83
## 2015 22017.60 21649.95 23281.85 23104.56 26321.98 26689.74 27450.29 28907.08 25206.87 25497.43 24986.92 32919.46

22.9 Forecast Aktiekurser Premium


Man kan hente online aktiekurser med quantmod pakken installer denne med fx. pacman, vi skal også bruge pakken forecast som vi ligeledes henter. Vi henter nedenfor Google justeret lukkekurs til dato det er 6 søjle i GOOG matricen nedenfor. Vi kan se forecaste aktiekursen vha.

## [1] "GOOG"

## Series: GOOG[, 6] 
## ARIMA(3,1,3) with drift 
## 
## Coefficients:
##           ar1      ar2     ar3     ma1     ma2      ma3   drift
##       -0.1464  -0.1077  0.7573  0.1541  0.0102  -0.8138  0.7951
## s.e.   0.0899   0.0808  0.0840  0.0771  0.0729   0.0736  0.4047
## 
## sigma^2 estimated as 249.9:  log likelihood=-3164.76
## AIC=6345.51   AICc=6345.71   BIC=6382.56
##     Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
## 760       1403.530 1383.269 1423.791 1372.544 1434.516
## 761       1404.075 1375.312 1432.839 1360.086 1448.065
## 762       1401.294 1367.139 1435.448 1349.059 1453.528
## 763       1401.439 1363.040 1439.838 1342.713 1460.165
## 764       1402.525 1360.113 1444.938 1337.662 1467.389
## 765       1400.639 1355.123 1446.155 1331.028 1470.250
## 766       1401.303 1353.046 1449.561 1327.500 1475.106
## 767       1402.627 1351.591 1453.663 1324.574 1480.680
## 768       1401.328 1348.003 1454.653 1319.775 1482.881
## 769       1402.274 1346.828 1457.720 1317.477 1487.071

22.9.1 Eksporter Aktiekurser til Excel Premium

Man kan eksportere data til fx Excel med pakken rio, herunder dannes en Excel fil med to ark med hhv. aktiedata og forudsigelser. Funktionen export(), benyttes, man angiver data til de enkelte ark en list() funktion, sidste argument er selve filnavnet. Filen gemmes i arbejdsbiblioteket. Herfra kan den kopieres eller exporteres.

## [1] "GS"

## Series: GS[, 6] 
## ARIMA(0,1,0) 
## 
## sigma^2 estimated as 9.767:  log likelihood=-1939.29
## AIC=3880.57   AICc=3880.58   BIC=3885.2
##     Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
## 760         237.76 233.7549 241.7651 231.6348 243.8852
## 761         237.76 232.0960 243.4240 229.0976 246.4224
## 762         237.76 230.8230 244.6970 227.1508 248.3692
## 763         237.76 229.7499 245.7701 225.5096 250.0104
## 764         237.76 228.8044 246.7156 224.0636 251.4564
## 765         237.76 227.9496 247.5704 222.7563 252.7637
## 766         237.76 227.1636 248.3564 221.5542 253.9658
## 767         237.76 226.4320 249.0880 220.4352 255.0847
## 768         237.76 225.7448 249.7752 219.3843 256.1357
## 769         237.76 225.0949 250.4251 218.3903 257.1296

## [1] "DANSKE.CO"

## Series: DANSKE.CO[, 6] 
## ARIMA(3,1,2) 
## 
## Coefficients:
##         ar1      ar2      ar3      ma1     ma2
##       0.255  -0.9427  -0.0948  -0.3246  0.9745
## s.e.  0.044   0.0209   0.0368   0.0260  0.0159
## 
## sigma^2 estimated as 5.808:  log likelihood=-1723.97
## AIC=3459.94   AICc=3460.05   BIC=3487.67
##     Point Forecast     Lo 80    Hi 80     Lo 95    Hi 95
## 753       108.2317 105.14323 111.3201 103.50830 112.9551
## 754       108.2911 104.07269 112.5096 101.83958 114.7427
## 755       108.2762 103.14747 113.4049 100.43249 116.1199
## 756       108.2180 102.35655 114.0795  99.25366 117.1824
## 757       108.2117 101.71699 114.7064  98.27891 118.1445
## 758       108.2663 101.17092 115.3617  97.41485 119.1177
## 759       108.2917 100.61963 115.9638  96.55827 120.0252
## 760       108.2473 100.05206 116.4426  95.71374 120.7809
## 761       108.2069  99.54375 116.8700  94.95777 121.4560
## 762       108.2360  99.12575 117.3462  94.30308 122.1689

## [1] "BRK-A"

## Series: `BRK-A`[, 6] 
## ARIMA(1,1,0) with drift 
## 
## Coefficients:
##           ar1    drift
##       -0.0297  56.5158
## s.e.   0.0141  25.5825
## 
## sigma^2 estimated as 3495470:  log likelihood=-45074.47
## AIC=90154.95   AICc=90154.95   BIC=90174.52
##      Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
## 5037       339237.7 336841.7 341633.7 335573.3 342902.0
## 5038       339294.4 335955.9 342632.9 334188.6 344400.1
## 5039       339350.9 335281.5 343420.3 333127.3 345574.5
## 5040       339407.4 334719.8 344095.1 332238.3 346576.5
## 5041       339463.9 334230.6 344697.3 331460.2 347467.7
## 5042       339520.4 333793.1 345247.8 330761.2 348279.6
## 5043       339577.0 333395.0 345758.9 330122.5 349031.4
## 5044       339633.5 333028.1 346238.8 329531.5 349735.5
## 5045       339690.0 332686.8 346693.2 328979.5 350400.5
## 5046       339746.5 332366.9 347126.1 328460.3 351032.7

22.10 Aktieafkast Premium


I Quantmod pakken ligger også mulighed for at beregne fx. dagligt, ugentligt afkast, dette gør vi vha. funktionen “periodReturn”.

## [1] "AAPL"

## Series: apple 
## ARIMA(1,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ar1    mean
##       -0.6488  0.3440
## s.e.   0.2200  0.0695
## 
## sigma^2 estimated as 0.202:  log likelihood=-7.86
## AIC=21.73   AICc=24.13   BIC=23.65
## [1] "BRK-A"

## Series: berkshire 
## ARIMA(0,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##         mean
##       0.0993
## s.e.  0.0469
## 
## sigma^2 estimated as 0.03318:  log likelihood=4.49
## AIC=-4.99   AICc=-3.9   BIC=-3.71