Kapitel 22 Tidsrækker og ARIMA Premium

Sentry Page Protection

Gennemgangen af tidsrækkeanalyse bygger meget på praktisk anvendelighed (dvs. vi vil gerne kunne forudsige kursudviklingen), vi vil springe let hen over teorien der kan være tung og er meget omfattende. Nedenstående links giver dog en indføring i den teoretiske del, som vi her ikke berører.

http://ucanalytics.com/blogs/arima-models-manufacturing-case-study-example-part-3/

http://ucanalytics.com/blogs/step-by-step-graphic-guide-to-forecasting-through-arima-modeling-in-r-manufacturing-case-study-example/

Her er en gennemgang af forskellige typer af tidsrækker man kan opleve.

https://people.duke.edu/~rnau/411arim.htm#arima010

Video om ARIMA https://youtu.be/Aw77aMLj9uM

En tidsrække er observationer, der er observeret over tid, fx. lukkekursen på Novo i 2018, kan vi beskrive som en tidsrække. Hvor vi både registrerer dato og lukkekursen. ARIMA er et avanceret analyseværktøj til at beskrive tidsrækker. Vi vil i de følgende kaptiler, med eksempler beskrive hvordan de enkelte elementer i ARIMA rent praktisk fungerer.

AR står for AutoRegressive I står for Integrated MA står for Moving Average

Lad i de følgende afsnit se på nogle simple eksempler for trinvis, at kunne beskrive hvorledes modellen fungerer.

22.1 ARIMA(0,0,0) Premium


Nedenfor har vi aktiekurser for 50 dage for en fiktiv aktie, vi vil nu undersøge om disse kan bruges til at forudsige noget om fremtidige aktiekurser. For at gøre dette, skal man enten importere Excelfilen, eller copy paste data fra rammen nedenfor.

Hent ARIMA1.xlsx Excel filen her. Importer ARIMA1.xlsx til R via menuen File - Import Dataset - Excel. Nu skal datasættet rettes til en tidsserie med ts() kommandoen.

Vi kan nu plotte vore data i R.

Det er svært at se nogen tydelig udvikling i kursen.

Vi benytter auto.arima til at undersøge om der er en systematik i tidsserien, for at bruge denne funktion skal vi hente og loade pakken forecast med fx. pacman:

Funktionen auto.arima i R er en fantastisk funktion, der automatisk finder den ARIMA model, der passer bedst på observationerne.

## Series: ARIMA1 
## ARIMA(0,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          mean
##       19.8964
## s.e.   0.2872
## 
## sigma^2 estimated as 4.209:  log likelihood=-106.37
## AIC=216.74   AICc=217   BIC=220.57

Output ARIMA(0,0,0) with non-zero mean, fortæller os at data er ligesom hvid støj. Den bedste forudsigelse af aktieprisen, vi kan komme med er gennemsnittet af alle kurserne. Vi kan altså ikke forudsige prisen vha. vore fine værktøjer.

Akaike Information Criterion (AIC) , og Bayesian Information Criterion (BIC) benyttes til at vælge ARIMA modellen med mindst AIC og BIC værdier. auto.arima finder den bedste model automatisk.

Her er ligningen for aktiekursen, den bedste forudsigelse af den fremtidige kurs er den gennemsnitlige kurs der tidligere er observeret.

\[\hat{Y_t}=19.90\]

Variablen \(\hat{Y}_t\), kaldet Y hat t angiver vort (gæt) på aktiekursen på tidspunkt \(t=1,2,3,...\). Der er således så lidt systematik i Data at her er tale om en ARIMA(0,0,0) model. Vi ser også at der står “ARIMA(0,0,0) with non-zero mean” i output fra R.

22.2 ARIMA(1,0,0) eller AR(1) autoregression Premium


En ARIMA(1,0,0) model kan skrives som:

\[\hat{Y_t}=c + \phi Y_{t-1}\]

Vi kan forklare \(\hat{Y_t}\) er værdien for tidsrækken på tidspunkt \(t\), ud fra en konstant \(c\) plus en faktor \(\phi\), der ganges på værdien for tidsrækken på tidspunkt \(t-1\). For at bestemme c skal vi kende tidsrækkens sande middelværdi \(\mu\) og \(\phi\), disse værdier kan R beregne for os. Vi kan så beregne konstanten \(c=(1-\phi)\cdot \mu\). Det betyder så at vi kan estimere fremtidige værdier tidsrækken.

Vi har nu et eksempel hvor den sande middelværdi for tidsrækken er \(\mu=100\) og \(\phi=0.5\) for en ARIMA(1,0,0) model. Så kan vi beregne \(c=(1-\phi)\cdot \mu=(1-0.5)\cdot 100=50\) er middelværdien estimeret ved den gennemsnitlige kurs. Ligningen for modellen kan så skrives som:

\[\hat{Y_t}=c + \phi Y_{t-1} \Leftrightarrow \hat{Y_t}=50 + 0.5 Y_{t-1}\]

\(\phi\) fortæller, hvis kursen dagen før var 80 gennemsnitskursen er 100, vil kursen imorgen \(t=1\) ifølge modellen være forudsagt som: \[50+0.5\cdot 80=90\] Dagen efter \(t=2\) vil kursen så være forudsagt til: \[50+0.5\cdot 90=95\] Om 3 dage dvs. \(t=3\) vil kursen så være forudsagt til: \[50+0.5\cdot 95=97.5\] Om 4 dage dvs. \(t=4\) vil kursen så være forudsagt til: \[50+0.5\cdot 97.5=98.75\]

Osv..

Vi siger at forudsagte værdier konvergerer mod (dvs. nærmer sig) \(\mu=100\).

AR i ARIMA, står for autoregression, selv-regression mod middelværdien, i eksemplet så vi hvordan værdien nærmer sig 100, hvis vi forudsiger flere dages kurser kan vi se dette.

\(\phi\) må kun antage værdier mellem og ikke lig med -1 og 1, hvilket betyder den er stationær, altså nærmer sig den sande middelværdi \(\mu\).

Hvad vil der ske hvis \(\mu=100\) og \(\phi=-0.5\) for en ARIMA(1,0,0) model (husk \(c=(1-\phi)\cdot\mu\) når man skal bestemme modellen)?

Hent ARIMA2.xlsx Excel filen her. Importer ARIMA2.xlsx til R via menuen File - Import Dataset - Excel. Nu skal datasættet rettes til en tidsserie med ts() kommandoen.

## Series: ARIMA2 
## ARIMA(1,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          ar1      mean
##       0.3664  103.2372
## s.e.  0.1301    2.4492
## 
## sigma^2 estimated as 128.3:  log likelihood=-191.36
## AIC=388.73   AICc=389.25   BIC=394.46

Her afslører auto.arima 1. ordens autoregression dvs.

Modellen kan skrives som.

\[\hat{Y_t}=c + \phi Y_{t-1}\Leftrightarrow \hat{Y_t}=(1-0.3664)\cdot 103.2372 + 0.3664Y_{t-1}\Leftrightarrow \hat{Y_t}=65.4125 + 0.3664Y_{t-1}\]

Vi ser nu igen på vores eksempel med ARIMA2, vi kan nu i R forudsige aktiekursen 12 perioder frem med predict:

## Time Series:
## Start = 51 
## End = 62 
## Frequency = 1 
##  [1] 105.3673 104.0177 103.5232 103.3420 103.2756 103.2513 103.2424 103.2391 103.2379 103.2375 103.2373 103.2373
Spørgsmål ARIMA(1,0,0) Hent ARIMA22.xlsx Excel filen her. Importer ARIMA22.xlsx til R via menuen File - Import Dataset - Excel. Bestem for den fremtidige aktiekurs 15 perioder frem, udregn direkte fx. vha. Excel og tjek dit resultat i R.

Svar ARIMA(1,0,0)

## Series: ARIMA22 
## ARIMA(1,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          ar1      mean
##       0.2286  215.4871
## s.e.  0.1371    2.3978
## 
## sigma^2 estimated as 180.3:  log likelihood=-199.82
## AIC=405.63   AICc=406.15   BIC=411.37
## Time Series:
## Start = 51 
## End = 65 
## Frequency = 1 
##  [1] 216.7592 215.7779 215.5536 215.5023 215.4905 215.4878 215.4872 215.4871 215.4871 215.4871 215.4871 215.4871 215.4871 215.4871 215.4871

Spørgsmål ARIMA(1,0,0) Hent ARIMA23.xlsx Excel filen her. Importer ARIMA23.xlsx til R via menuen File - Import Dataset - Excel. Bestem for den fremtidige aktiekurs 15 perioder frem, udregn direkte fx. vha. Excel og tjek dit resultat i R.


22.3 ARIMA(0,1,0) eller I(1) Integrated Premium


Hvis en serie er ikke-stationær, er den simpleste model en random walk uden drift.

\[\hat{Y_t}-Y_{t-1}=0\Leftrightarrow \hat{Y_t}=Y_{t-1}+0\] Dette betyder vi bedst kan forudsige Y ved værdien perioden før.

Hvis en serie er ikke-stationær, er en random walk med drift.

\[\hat{Y_t}-Y_{t-1}=\mu\Leftrightarrow \hat{Y_t}=Y_{t-1}+\mu\] Dette betyder at Y stiger konstant med \(\mu\) i hver periode. Drift betyder at tidsrækken stiger konstant.

Forestiller man sig en ARIMA(0,1,0) med drift 10 og en kurs på tidspunkt t-1 på 120, vil vi forudsige en kurs på 130 ved tid t og 140 ved tid t+1 osv. Vi kan opskrive modellen som: \[\hat{Y_t}-Y_{t-1}=10\Leftrightarrow \hat{Y_t}=Y_{t-1}+10\]

Hent ARIMA3.xlsx Excel filen her. Importer ARIMA3.xlsx til R via menuen File - Import Dataset - Excel. Nu skal datasættet rettes til en tidsserie med ts() kommandoen.

## Series: ARIMA3 
## ARIMA(0,1,0) with drift 
## 
## Coefficients:
##        drift
##       7.9149
## s.e.  1.2790
## 
## sigma^2 estimated as 83.46:  log likelihood=-181.05
## AIC=366.1   AICc=366.36   BIC=369.93

Modellen ovenfor kan skrives som: \[\hat{Y_t}-Y_{t-1}=\mu\Leftrightarrow \hat{Y_t}-Y_{t-1}=7.9\Leftrightarrow \hat{Y_t}=Y_{t-1}+7.9\] Vi indsætter drift i stedet for \(\mu\), tolningen er at modellen forudsiger at aktiekursen stiger med 7.9 fra periode til periode.

Hvis vi har en ren random walk model uden drift dvs. med \(\mu=0\) ARIMA(0,1,0) for en aktiekurs , forventer vi at kursen til tid t vil være den samme som til tid t-1. Denne kan skrives som:

\[\hat{Y_t}-Y_{t-1}=0\]

22.4 ARIMA(0,0,1) eller MA(1) Moving average Premium


Vi kan i stedet for at bruge tidligere aktiekurser til at forudsige aktiekursen i stedet benytte tidligere målefejl til at forudsige kursen.

Modellen kan skrives som:

\[\hat{Y_t}=\mu+\theta_1 e_{t-1}\] Hvis vi forestiller os \(\mu=50\) \(\theta_1=0.5\) kursen til tid t-1 var 120 forudsigelsen til tid t-1 var 100, så målefejlen til tid t-1 er \(e_{t-1}\) er faktisk kurs minus forudsagt kurs altså 120-100=20. Nu kan vi forudsige kursen til tid t som: \[\hat{Y_t}=\mu+\theta_1 e_{t-1}\Leftrightarrow \hat{Y_t}=50+0.5\cdot20=60\]

Hent ARIMA4.xlsx Excel filen her. Importer ARIMA4.xlsx til R via menuen File - Import Dataset - Excel. Nu skal datasættet rettes til en tidsserie med ts() kommandoen.

## Series: ARIMA4 
## ARIMA(0,0,1) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          ma1     mean
##       0.9053  99.0176
## s.e.  0.0664   2.5588
## 
## sigma^2 estimated as 95.68:  log likelihood=-184.81
## AIC=375.62   AICc=376.14   BIC=381.35

Vi kan nu forudsige aktiekursen 12 perioder frem med predict:

## Time Series:
## Start = 51 
## End = 62 
## Frequency = 1 
##  [1] 113.64960  99.01756  99.01756  99.01756  99.01756  99.01756  99.01756  99.01756  99.01756  99.01756  99.01756  99.01756

Hvorfor svarer den forudsagte værdi til mean i en ren ARIMA(0,0,1) eller MA(1) model? (Vink hvad er definitionen på en )

22.5 Plots med forskellige modeller Premium

## Series: ap1 
## ARIMA(0,1,0) 
## 
## sigma^2 estimated as 102.1:  log likelihood=-186.6
## AIC=375.19   AICc=375.28   BIC=377.1

Kursen svinger omkring middelværdien.

## Series: ap2 
## ARIMA(1,1,0) with drift 
## 
## Coefficients:
##          ar1   drift
##       0.4687  4.5368
## s.e.  0.1228  2.5354
## 
## sigma^2 estimated as 97.85:  log likelihood=-184.64
## AIC=375.27   AICc=375.79   BIC=381.01

## Series: ap3 
## ARIMA(2,0,1) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          ar1      ar2     ma1      mean
##       -0.075  -0.1130  0.6086  100.3731
## s.e.   0.130   0.0939  0.1151    0.9183
## 
## sigma^2 estimated as 94:  log likelihood=-736.34
## AIC=1482.67   AICc=1482.98   BIC=1499.17

Vi kan også grafisk vise hvordan kursen vil udvikle sig med 80% og 95% konfidensbælter.

##     Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
## 201      103.67385 91.24890 116.0988 84.67152 122.6762
## 202       98.81282 84.73005 112.8956 77.27509 120.3506
## 203      100.11730 85.90677 114.3278 78.38417 121.8504
## 204      100.56859 86.34513 114.7920 78.81569 122.3215
## 205      100.38734 86.16151 114.6132 78.63080 122.1439
## 206      100.34996 86.12404 114.5759 78.59329 122.1066
## 207      100.37324 86.14728 114.5992 78.61651 122.1300
## 208      100.37572 86.14976 114.6017 78.61899 122.1324
## 209      100.37290 86.14694 114.5989 78.61617 122.1296
## 210      100.37283 86.14687 114.5988 78.61610 122.1296

22.6 ARIMA af højere orden Premium

Arima modeller kan afhænge af flere tidligere perioder, fx kan ligningen for ARIMA(2,0,0) eller AR(2), opskrives som:

\[\hat{Y_t}=c + \phi Y_{t-1}+ \phi_2 Y_{t-2}\] Modellen afhænger altså af 2 tidligere perioder (lags) og ikke en. Man betegner dette som en model med lag 2.

Arima modeller kan indeholde flere forskellige elementer med lag som fx. ARIMA(0,2,1).

22.7 ARIMA og sæsonalitet Premium


Hvis fx. en aktie handles lavere om fredagen kan ARIMA modellerne korrigere for dette ved sæsonkorrektion. I sæsonkorrigerede modeller vises dette som en ekstra vektor med 3 tal for hhv. sæsonkorrigeret AR eller SAR, sæsonkorrigeret I eller SI og sæsonkorrigeret MA eller SMA. En model som ARIMA(1,0,0)(1,0,0) har altså udover AR også en sæsonkomponent.

22.8 ARIMA eksempler Premium

22.8.1 Traktorer Premium

Hent følgende data for traktor salg, med følgende kommandoer i R.

Vi ser salget er voksende over tid, der er ligeledes en sæsonkomponent.

Differens tranformer data for at generere stationære data mht. middel (fjern trend)

log transformer data for at sikre stationaritet mht. varians.

Eventuel Differens og log transformation af data for at sikre stationaritet både mht. middel og varians.

Find bedste model med auto.arima, når der er stationaritet.

Akaike Information Criterion (AIC) , og Bayesian Information Criterion (BIC), vælg ARIMA modellen med mindst AIC and BIC værdier. auto.arima finder den bedste model automatisk.

## Series: log10(data) 
## ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12] 
## 
## Coefficients:
##           ma1     sma1
##       -0.4047  -0.5529
## s.e.   0.0885   0.0734
## 
## sigma^2 estimated as 0.0002571:  log likelihood=354.4
## AIC=-702.79   AICc=-702.6   BIC=-694.17

Nu kan vi forudsige kommende traktor salg med modellen

##            Jan       Feb       Mar       Apr       May       Jun       Jul       Aug       Sep       Oct       Nov       Dec
## 2015  567.7645  566.4765  670.8226  758.9138  855.9482  817.2827  938.7239  934.5120  703.5005  626.9879  571.9988  668.5363
## 2016  625.2464  623.8280  738.7384  835.7481  942.6065  900.0265 1033.7626 1029.1243  774.7246  690.4657  629.9094  736.2206
## 2017  688.5479  686.9859  813.5300  920.3613 1038.0383  991.1474 1138.4233 1133.3154  853.1596  760.3701  693.6830  810.7573

22.8.2 Detail debet card forbrug på Island (millioner ISK). Premium

## Series: log10(debitcards) 
## ARIMA(2,1,0)(0,1,1)[12] 
## 
## Coefficients:
##           ar1      ar2     sma1
##       -0.7167  -0.4372  -0.8352
## s.e.   0.0761   0.0763   0.1085
## 
## sigma^2 estimated as 0.0004402:  log likelihood=343.95
## AIC=-679.9   AICc=-679.61   BIC=-668.05

Nu kan vi forudsige kommende debetkort omsætning med modellen

Forudsagt brug af debetkort bliver:

##           Jan      Feb      Mar      Apr      May      Jun      Jul      Aug      Sep      Oct      Nov      Dec
## 2013 19717.77 19162.87 20436.29 20506.84 23262.14 23545.62 24292.86 25544.16 22267.47 22543.80 22081.63 29090.93
## 2014 20701.39 20352.57 21886.85 21721.53 24745.18 25091.09 25806.49 27175.65 23697.15 23970.40 23490.36 30947.83
## 2015 22017.60 21649.95 23281.85 23104.56 26321.98 26689.74 27450.29 28907.08 25206.87 25497.43 24986.92 32919.46

22.9 Forecast Aktiekurser Premium


Man kan hente online aktiekurser med quantmod pakken installer denne med fx. pacman, vi skal også bruge pakken forecast som vi ligeledes henter. Vi henter nedenfor Google justeret lukkekurs til dato det er 6 søjle i GOOG matricen nedenfor. Vi kan se forecaste aktiekursen vha.

## [1] "GOOG"

## Series: GOOG[, 6] 
## ARIMA(0,1,1) 
## 
## Coefficients:
##           ma1
##       -0.1573
## s.e.   0.0326
## 
## sigma^2 estimated as 393.2:  log likelihood=-3727.12
## AIC=7458.25   AICc=7458.26   BIC=7467.73
##     Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
## 848        1355.81 1330.396 1381.224 1316.943 1394.677
## 849        1355.81 1322.575 1389.045 1304.982 1406.638
## 850        1355.81 1316.272 1395.348 1295.342 1416.278
## 851        1355.81 1310.844 1400.776 1287.041 1424.579
## 852        1355.81 1306.004 1405.615 1279.639 1431.981
## 853        1355.81 1301.595 1410.025 1272.895 1438.725
## 854        1355.81 1297.518 1414.102 1266.660 1444.960
## 855        1355.81 1293.708 1417.912 1260.833 1450.787
## 856        1355.81 1290.119 1421.501 1255.344 1456.276
## 857        1355.81 1286.715 1424.904 1250.139 1461.481

22.9.1 Eksporter Aktiekurser til Excel Premium

Man kan eksportere data til fx Excel med pakken rio, herunder dannes en Excel fil med to ark med hhv. aktiedata og forudsigelser. Funktionen export(), benyttes, man angiver data til de enkelte ark en list() funktion, sidste argument er selve filnavnet. Filen gemmes i arbejdsbiblioteket. Herfra kan den kopieres eller exporteres.

## [1] "GS"

## Series: GS[, 6] 
## ARIMA(1,1,3) 
## 
## Coefficients:
##          ar1     ma1     ma2     ma3
##       -0.859  0.7750  0.0266  0.1573
## s.e.   0.045  0.0535  0.0454  0.0364
## 
## sigma^2 estimated as 14.2:  log likelihood=-2320.82
## AIC=4651.64   AICc=4651.71   BIC=4675.34
##     Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
## 848       172.9134 168.0841 177.7427 165.5277 180.2992
## 849       173.4678 166.9190 180.0166 163.4523 183.4833
## 850       173.4029 165.2234 181.5824 160.8935 185.9123
## 851       173.4587 163.7392 183.1781 158.5941 188.3232
## 852       173.4108 162.5034 184.3181 156.7295 190.0920
## 853       173.4519 161.3651 185.5387 154.9668 191.9370
## 854       173.4166 160.3416 186.4915 153.4202 193.4129
## 855       173.4469 159.3846 187.5093 151.9404 194.9535
## 856       173.4208 158.4916 188.3501 150.5886 196.2531
## 857       173.4433 157.6496 189.2369 149.2889 197.5976

## [1] "DANSKE.CO"

## Series: DANSKE.CO[, 6] 
## ARIMA(3,1,2) with drift 
## 
## Coefficients:
##          ar1      ar2      ar3      ma1     ma2    drift
##       0.2759  -0.9508  -0.0677  -0.3186  0.9748  -0.1145
## s.e.  0.0400   0.0229   0.0354   0.0209  0.0224   0.0720
## 
## sigma^2 estimated as 4.837:  log likelihood=-1846.76
## AIC=3707.52   AICc=3707.66   BIC=3740.64
##     Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
## 840       71.40930 68.59082 74.22778 67.09880 75.71980
## 841       70.77660 66.87484 74.67835 64.80938 76.74382
## 842       70.44243 65.67892 75.20594 63.15727 77.72759
## 843       70.75166 65.29293 76.21039 62.40326 79.10007
## 844       70.99803 64.94193 77.05413 61.73602 80.26004
## 845       70.59512 63.97576 77.21449 60.47168 80.71857
## 846       70.02929 62.86863 77.18995 59.07800 80.98057
## 847       70.04007 62.38606 77.69408 58.33427 81.74587
## 848       70.40880 62.31349 78.50412 58.02809 82.78952
## 849       70.33909 61.82416 78.85402 57.31663 83.36156

## [1] "BRK-A"

## Series: `BRK-A`[, 6] 
## ARIMA(4,1,5) with drift 
## 
## Coefficients:
##           ar1     ar2      ar3      ar4     ma1      ma2     ma3     ma4      ma5    drift
##       -0.4524  0.4747  -0.3019  -0.7343  0.3446  -0.4658  0.3762  0.5984  -0.0771  39.2375
## s.e.   0.0637  0.0733   0.0618   0.0445  0.0645   0.0744  0.0631  0.0465   0.0176  25.7999
## 
## sigma^2 estimated as 4391592:  log likelihood=-46443
## AIC=92908   AICc=92908.05   BIC=92979.95
##      Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
## 5125       255776.8 253091.2 258462.5 251669.5 259884.2
## 5126       255219.0 251619.8 258818.2 249714.5 260723.5
## 5127       256612.8 252201.2 261024.3 249865.9 263359.6
## 5128       256314.3 251222.3 261406.3 248526.8 264101.8
## 5129       257631.0 252026.0 263235.9 249058.9 266203.1
## 5130       256961.4 250868.9 263054.0 247643.7 266279.2
## 5131       257035.0 250570.5 263499.5 247148.4 266921.7
## 5132       256584.6 249705.5 263463.6 246064.0 267105.2
## 5133       256137.7 248887.1 263388.2 245048.8 267226.5
## 5134       256674.4 249023.0 264325.9 244972.5 268376.4

22.10 Aktieafkast Premium


I Quantmod pakken ligger også mulighed for at beregne fx. dagligt, ugentligt afkast, dette gør vi vha. funktionen “periodReturn”.

## [1] "AAPL"

## Series: apple 
## ARIMA(1,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ar1    mean
##       -0.6455  0.3451
## s.e.   0.2205  0.0697
## 
## sigma^2 estimated as 0.2023:  log likelihood=-7.87
## AIC=21.74   AICc=24.14   BIC=23.65
## [1] "BRK-A"

## Series: berkshire 
## ARIMA(0,0,0) with zero mean 
## 
## sigma^2 estimated as 0.04497:  log likelihood=1.85
## AIC=-1.69   AICc=-1.36   BIC=-1.06