Kapitel 16 Sandsynligheder

Sentry Page Protection


Vi vil her se på sandsynligheder. Hvis vi forestiller os, man har på en cafe har spurgt 800 besøgende, om de drikker the, kaffe eller begge dele, og har fået følgende svar.

Kaffe The Både kaffe og the
600 400 200

Vi kan opstille resultaterne i et Venn-diagram som vist på figuren. Vi kan udføre et stokastisk eksperiment og tilfældigt udtage en person og undersøge, hvor stor sandsynligheden er for at vedkommende drikker kaffe.

Vi skriver P for probability dvs. sandsynlighed. Sandsynligheden for en person drikker kaffe kan opskrives som:

\[\small P(Kaffe)=\frac{Antal\ kaffe-drikkere}{Antal\ adspurgte}=\frac{600}{800}=0.75=75\%\]

På samme måde kan man finde sandsynligheden for at en person drikker the:

\[\small P(The)=\frac{Antal\ the-drikkere}{Antal\ adspurgte}=\frac{400}{800}=0.5=50\%\]

16.0.1 Forenings- og fælleshændelser

Sandsynligheden for at en person drikker the eller kaffe, er en foreningshændelse (vi bruger symbolet \(\cup\)), det skriver vi som: \[P(The\cup Kaffe)=\frac{Antal\ the- eller\ kaffedrikkere}{Antal\ adspurgte}=\frac{800}{800}=1\] Alle der kommer på denne cafe, drikker altså enten the eller kaffe.

Sandsynligheden for at en person drikker the og kaffe, er en fælleshændelse (vi bruger symnolet\(\cap\)), det skriver vi som: \[P(The\cap Kaffe)=\frac{Antal\ the- og\ kaffedrikkere}{Antal\ adspurgte}=\frac{200}{800}=0.25\]

Har man svært ved at huske betydningen af de 2 symboler. Så tænk på at foreningshændelsen \(\cup\) (det ligner er jo en kop), kan rumme mere end fælleshændelsen \(\cap\) (der er ikke meget plads på toppen).

16.1 Betingede sandsynligheder

Vi kan også se på en mindre gruppe af de adspurgte, hvis fx. man kun vil se på kaffedrikkerne kunne man ønske at undersøge, hvor stor en andel af kaffedrikkerne der både drikker the og kaffe. Vi siger at vi betinger med en hændelse, hvis vi ser på en sådan delmængde af de adspurgte. Betingede sandsynligheder kan formuleres på flere måder fx:

Givet at man drikker kaffe hvad er da sandsynligheden for at man ligeledes drikker the? Hvis man drikker kaffe hvad er da sandsynligheden for at man ligeledes drikker the? Hvad er da sandsynligheden for, at man drikker the, når man drikker kaffe? Hvad er andelen af kaffedrikkere, der drikker the?

Vi siger vi betinger med hændelsen A, man drikker kaffe, og ser således kun på gruppen af kaffedrikkere. Hvad er så sandsynligheden for at man også drikker the hændelsen B? Vi skal altså bestemme sandsynligheden for B givet A, med symboler skriver vi det som \(\small P(B\mid A)\). Vi kan udregne dette som \[\small P(B\mid A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}\]

Det betyder vi kan udregne hvad er andelen af kaffedrikkere, der drikker the, ved formlen: \[\small P(B\mid A)=P(kaffe\ og\ the\mid kaffe)=\frac{P(kaffe\ og\ the\cap kaffe)}{P(kaffe)}\] \[\small \frac{\frac{200}{800}}{\frac{600}{800}}=\frac{200}{600}=\frac{1}{3}\approx 33\%\]

16.1.1 Race og dødsdom eksempel

I et kendt studie fra 1991 af Radelet and Pierce, om Florida, har man indsamlet data i retssager hvor der var mulighed for dødsstraf. Man har blandt andet indsamlet data om den tiltaltes etnicitet, offerets etnicitet samt udfaldet af retssagen dvs. om den tiltalte blev idømt dødstraf eller ikke. Studiets formål var at afgøre om der ved domstolene er en bias, således at amerikanere af afrikansk afstamning oftere idømmmes dødsstraf end hvide.

Race tiltalt Dødsdom Ikke dødsdom Total
Hvid 53 430 483
Afrikansk amerikaner 15 176 191
Total 68 606 674

Sandsynligheden for at blive dødsdømt, når man er tiltalt kan udregnes til: \[\small P(dødsdom)=\frac{dødsdømte}{alle\ tiltalte}=\frac{68}{674}=0.1009\]

Sandsynligheden for at blive dødsdømt, når man er hvid og tiltalt er en betinget sandsynlighed, denne kan udregnes til: \[\small P(dødsdom\mid hvid)=\frac{P(dødsdom \cap hvid)}{P(hvide\ tiltalte)}=\frac{53}{483}=0.1097\]

Sandsynligheden for at blive dødsdømt, hvis man er afrikansk-amerikaner og tiltalt er en betinget sandsynlighed, denne kan udregnes til: \[\small P(dødsdom\mid sort)=\frac{P(dødsdom\cap sort)}{P(sorte\ tiltalte)}=\frac{15}{191}=0.0785\]

Dette tyder ikke på at der er racemæssig forskel på andelen af dødsdømte.

16.2 Uafhængighed

Vi kan sige at 2 hændelser A og B er uafhængige hvis sandsynligheden for at den ene hændelse indtræffer ikke påvirkes af om den anden hændelse indtræffer eller ej.

Sandsynligheden for at slå krone med en mønt og slå en sekser med en terning, er 2 hændelser der er uafhængige.

Trækker man et es fra et spil kort, vil sandsynligheden for igen at trække et es være påvirket af det første træk. Disse hændelser er ikke uafhængige.

Vi kan udtrykke uafhængige hændelser vha. betingede sandsynligheder.

\[\small P(A\mid B)=P(A)\] Her står sandsynligheden for A er den samme ligegyldigt om hændelsen B indtræffer eller ej. \[\small P(B\mid A)=P(B)\] Her står sandsynligheden for B er den samme ligegyldigt om hændelsen A indtræffer eller ej.

Vi kan omskrive begge ligninger til nedenstående resultat. \[\small P(A\mid B)=P(A)\Leftrightarrow \frac{P(A\cap B)}{P(B)}=P(A)\Leftrightarrow P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\] Så hændelserne A og B er uafhængige hvis fælleshændelsen \(\small P(A\cap B)\) er lig med produktet af hændelserne \(\small P(A) \cdot P(B)\)

Er hændelserne drikke kaffe og the uafhængige? Vi finder sandsynligheden for fælleshændelsen: \[\small P(Kaffe \cap The)=\frac{200}{800}=0.25\] Er sandsynligheden for fælleshændelsen lig med produktet af sandsynlighederne? \[\small P(Kaffe)\cdot P(The)=\frac{600}{800}\cdot \frac{400}{800}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{8}=0.375\] Hændelserne er altså ikke uafhængige for 0.25 er ikke 0.375.

Vi ser på om hændelserne hvid tiltalt og dødsdom er afhængige. Vi finder sandsynligheden for fælleshændelsen: \[\small P(Dødsdom \cap Hvid)=\frac{53}{674}=0.08\] Er sandsynligheden for fælleshændelsen lig med produktet af sandsynlighederne? \[\small P(Dødsdom)\cdot P(Hvid)=\frac{68}{674}\cdot \frac{483}{674}=0.10 \cdot 0.72=0.072\] Sandsynlighederne 0.08 og 0.072 er tæt på hinanden, udtaler vi os om en population ville vi nok ikke kunne afvise at hændelserne er uafhængige. Vi vil i afsnittede om Chi i anden tests se på hvorledes man tester uafhængighed.

Spørgsmål dødsdom Vi inddeler nu skemaet ovenfor, med en variabel, der angiver offerets race.

Race offer Race tiltalt Dødsdom Ikke dødsdom Total
Hvid Hvid 53 414 467
Hvid Afrikansk amerikaner 11 37 48
Afrikansk amerikaner Hvid 0 16 16
Afrikansk amerikaner Afrikansk amerikaner 4 139 143
Total 68 606 674

1. Hvad er sandsynligheden for at blive dødsdømt, hvis man er hvid tiltalt for at have dræbt en hvid?

2. Hvad er sandsynligheden for at blive dødsdømt, givet man er sort tiltalt for at have dræbt en hvid?

3. Hvad er sandsynligheden for at blive dødsdømt, givet man er hvid tiltalt for at have dræbt en sort?

4. Hvad er sandsynligheden for at blive dødsdømt, når man er sort tiltalt for at have dræbt en sort?

5. Hvad er sandsynligheden for at blive dødsdømt og ikke blive dødsdømt, når man er hvid?

6. Hvad er sandsynligheden for at blive dødsdømt eller ikke blive dødsdømt, når man er hvid?


Svar dødsdom

1. Sandsynligheden for at blive dødsdømt, hvis man er hvid tiltalt for at have dræbt en hvid kan udregnes til: \[\small P(Dødsdømt \mid hvid\ tiltalt\ og\ hvidt\ offer)=\frac{53}{467}=0.1135\] 2. Sandsynligheden for at blive dødsdømt, givet man er sort tiltalt for at have dræbt en hvid kan udregnes til: \[\small P(Dødsdø\ mt \mid sort\ tiltalt\ og\ hvidt\ offer)=\frac{11}{48}=0.2292\] 3. Sandsynligheden for at blive dødsdømt, givet man er hvid tiltalt for at have dræbt en sort kan udregnes til: \[\small P(Dødsdø\ mt \mid hvid\ tiltalt\ og\ sort\ offer)=\frac{0}{16}=0\] 4. Sandsynligheden for at blive dødsdømt, når man er sort tiltalt for at have dræbt en sort kan udregnes til \[\small P(Dødsdø\ mt \mid sort\ tiltalt\ og\ sort\ offer)=\frac{4}{143}=0.0280\]

Vi ser nu at der synes at være større sandsynlighed for dødsdom for sorte end for hvide, denne effekt kommer først frem når vi kontrollerer for offer race. Man kalder dette for Simpsons paradoks.

5. Sandsynligheden for at blive dødsdømt og ikke blive dødsdømt når man er hvid, er 0, der er ingen hvide der både bliver dødsdømte og ikke dødsdømte. Fællesmængden mellem de 2 hændelser er tom.

6. Sandsynligheden for at blive dødsdømt eller ikke blive dødsdømt når man er hvid er 1, alle hvide tiltalte bliver enten dødsdømte eller ikke dødsdømte. Foreningsmængden for de 2 hændelser er alle de mulige udfald. Man kan kun blive dødsdømt eller ikke dødsdømt.


Spørgsmål utroskab og skolegang

Herunder er angivet tro og utro personer delt på Uddannelsesniveau. Data stammer fra en kendt amerikansk undersøgelse om utroskab fra 1969. Man har interviewet 601 respondenter om religiøsitet, antal affærer uddannelsesniveau etc.

Uddannelseniveauet er stigende, hvor Grundskole er lavest og Phd højest. KVU betyder kortere videregående uddannelse.

Uddannelsesniveau
Basis Gymnasie KVU1 KVU2 KVU3 Master Phd. Total
Antal utro 5 31 119 95 62 79 60 451
Antal tro 2 13 35 20 27 33 20 150
Total 7 44 154 115 89 112 80 601

1. Hvad er sandsynligheden for at man er utro?

2. Hvad er sandsynligheden for man er tro?

3. Hvad er sandsynligheden for at man er utro eller tro?

4. Hvad er sandsynligheden for at man er utro og tro?

5. Hvad er sandsynligheden for at man er utro, givet man har en Phd?

6. Hvad er sandsynligheden for at man har en Phd?

7. Hvad er sandsynligheden for at man har en Phd eller Kandidatgrad og er tro?

8. Hvad er sandsynligheden for at man har en Phd, når man er tro?

9. Hvad er sandsynligheden for at man har en Phd eller Kandidatgrad, når man er tro?

10. Hvad er sandsynligheden for at man har en Phd og Kandidatgrad, givet man er tro?

11. Når man er utro, hvad er da sandsynligheden for, at man har en Kandidatgrad?

12. Når man er tro, hvad er da sandsynligheden for, at man har en Phd?